空間方程式

建築そのものを幾何学として定義し、波がどう振る舞うかを決める

① 空間（ホール）そのものの定義

ホール内部を 3 次元領域として

Ω⊂R3\Omega \subset \mathbb{R}^3Ω⊂R3

境界（壁・天井・床・柱・開口部）を

∂Ω\partial \Omega∂Ω

とします。

各点の座標は

x=(x,y,z)x = (x,y,z)x=(x,y,z)

② 空間内を伝わる波の基本方程式（時間依存）

音・光・電磁波すべての基本形は 波動方程式

∂2u(x,t)∂t2−c(x)2 Δu(x,t)=0\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} - c(x)^2 \, \Delta u(x,t) = 0∂t2∂2u(x,t)​−c(x)2Δu(x,t)=0

• u(x,t)u(x,t)u(x,t)：位置 xxx・時間 ttt における波の振幅

• c(x)c(x)c(x)：場所ごとの伝播速度

• Δ\DeltaΔ：ラプラシアン

Δ=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}Δ=∂x2∂2​+∂y2∂2​+∂z2∂2​

👉 建築空間＝ラプラシアンの定義される場

③ 周波数領域（定常波）に変換

時間調和波

u(x,t)=ℜ{U(x)e−iωt}u(x,t)=\Re\{U(x)e^{-i\omega t}\}u(x,t)=ℜ{U(x)e−iωt}

を代入すると Helmholtz 方程式

(Δ+k2n(x)2) U(x)=0(\Delta + k^2 n(x)^2)\,U(x)=0(Δ+k2n(x)2)U(x)=0

• k=ωc0k=\frac{\omega}{c_0}k=c0​ω​（波数）

• n(x)n(x)n(x)：屈折率（空間の性質）

④ 「散乱ポテンシャル形式」

(Δ+k2(1+q(x)))U(x)=0(\Delta + k^2(1+q(x)))U(x)=0(Δ+k2(1+q(x)))U(x)=0

• q(x)q(x)q(x)：

  • 壁・柱・空洞・吸音材

  • すべてを含む空間の内部構造

つまり

空間 ＝ q(x)\boxed{ \text{空間 ＝ } q(x) }空間 ＝ q(x)​

⑤ 境界条件（建築の意味）

壁の性質を式にする：

完全反射壁

U∣∂Ω=0U|_{\partial\Omega}=0U∣∂Ω​=0

速度ゼロ（Neumann）

∂U∂n∣∂Ω=0\frac{\partial U}{\partial n}\Big|_{\partial\Omega}=0∂n∂U​​∂Ω​=0

吸音壁（Robin）

∂U∂n+αU=0\frac{\partial U}{\partial n}+\alpha U=0∂n∂U​+αU=0

⑥ 散乱逆問題（核心）

境界で観測した波

U∣∂Ω=fU|_{\partial\Omega} = fU∣∂Ω​=f

から

q(x) を求めよ\boxed{ q(x)\ \text{を求めよ} }q(x) を求めよ​

すなわち

{(Δ+k2(1+q(x)))U(x)=0x∈ΩU∣∂Ω=f\begin{cases} (\Delta + k^2(1+q(x)))U(x)=0 & x\in\Omega\\ U|_{\partial\Omega}=f \end{cases}{(Δ+k2(1+q(x)))U(x)=0U∣∂Ω​=f​x∈Ω

⑦ この空間を「一行」で書くなら

Ω={x∈R3∣(Δ+k2(1+q(x)))U(x)=0}\boxed{ \Omega = \{x\in\mathbb{R}^3 \mid (\Delta + k^2(1+q(x)))U(x)=0 \} }Ω={x∈R3∣(Δ+k2(1+q(x)))U(x)=0}​

⑧ 概念的まとめ

• 建築図面 → 境界 ∂Ω\partial\Omega∂Ω

• 材料・曲面・穴 → q(x)q(x)q(x)

• 音・光の振る舞い → U(x)U(x)U(x)

• 空間とは

波をどう曲げるかを記述する関数 q(x)\boxed{\text{波をどう曲げるかを記述する関数 } q(x)}波をどう曲げるかを記述する関数 q(x)​

⑨ 芸術的に言えば

このホールは「壁でできている」のではなく波の歪み方でできている

数式空間